A geometriák alapjai

ELŐSZÓ 13

ELŐSZÓ AZ ELSŐ KIADÁSHOZ 15

I. rész

1. HÁROMSZÖGEK 21
1.1. Eukleidész 21
1.2. Alapfogalmak és axiómák 22
1.3. Pons asinorum 23
1.4. Súlyvonal és súlypont 27
1.5. Beírt kör és körülírt kör 28
1.6. Az Euler-egyenes és a magasságpont 34
1.7. Feuerbach-kör (kilencpontos kör) 35
1.8. Két szélsőérték-probléma 37
1.9. Morley tétele 40

2. SZABÁLYOS SOKSZÖGEK 43
2.1. A körosztás problémája 43
2.2. Szögharmadolás 45
2.3. Mozgás (izometria) 46
2.4. Szimmetria 47
2.5. Csoportok 48
2.6. Két tükrözés szorzata 49
2.7. A kaleidoszkóp 50
2.8. Csillagsokszögek 52

3. MOZGÁSOK AZ EUKLIDESZI SÍKON 56
3.1. Irányítástartó és irányításváltó mozgások 56
3.2. Eltolás 58
3.3. Csúsztatva tükrözés 60
3.4. Tükrözések és félfordulatok 62
3.5. A mozgásokkal kapcsolatos eredmények összegezése 62
3.6. Hjelmslev tétele 63
3.7. Sorminták 64


4. KÉTDIMENZIÓS KRISTÁLYTAN 66
4.1. Rácsok és Dirichlet-celláik 66
4.2. Az általános rács szimmetriacsoportja 70
4.3. M. C. Escher művészete 72
4.4. Hat téglaminta 74
4.5. Kristálytani korlátozások (Barlow tétele) 75
4.6. Szabályos mozaikok 76
4.7. Sylvester feladata 79

5. HASONLÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK AZ EUKLIDESZI SÍKON 81
5.1. Nyújtás (dilatáció) 81
5.2. Körök hasonlósági pontjai 84
5.3. A Feuerbach-kör 85
5.4. A hasonlósági leképezés fixpontja 85
5.5. Irányítástartó hasonlósági leképezések 88
5.6. Irányításváltó hasonlósági leképezések 89

6. KÖRÖK ÉS GÖMBÖK 90
6.1. Körre vonatkozó inverzió 90
6.2. Ortogonális körök 92
6.3. Egyenesek és körök inverz képe 93
6.4. Az inverzív sík 95
6.5. Körsorok 97
6.6. Apolloniosz köre 100
6.7. Körtartó transzformációk 102
6.8. Gömbre vonatkozó inverzió 103
6.9. Az elliptikus sík 104

7. MOZGÁSOK ÉS HASONLÓSÁGI LEKÉPEZÉSEK AZ EUKLIDESZI TÉRBEN 108
7.1. Irányítástartó és irányításváltó mozgások 108
7.2. Középpontos tükrözés 109
7.3. Forgatás és eltolás 110
7.4. Három tükrözés szorzata 110
7.5. Csavarmozgás 111
7.6. Nyújtva forgatás 113
7.7. Gömbtartó transzformációk 115

II. rész

8. KOORDINÁTÁK 119
8.1. Descartes-féle koordinátarendszer 119
8.2. Polárkoordináták 122
8.3. A kör 125
8.4. Kúpszeletek 127
8.5. Érintő, ívhossz és terület 131


8.6. Hiperbolikus függvények 135
8.7. A logaritmikus (egyenlőszögű) spirális 136
8.8. Három dimenzió 138

9. KOMPLEX SZÁMOK 145
9.1. Racionális számok 145
9.2. Valós számok 147
9.3. A komplex számsík (Argand-diagram) 148
9.4. Abszolút érték és irányszög 150
9.5. Az +1 = 0 képlet 152
9.6. Egyenletek gyökei 153
9.7. Konformis transzformációk 154

10. AZ ÖT SZABÁLYOS TEST 157
10.1. Gúla, hasáb és prizmatoid 157
10.2. Rajzok és modellek 159
10.3. Euler tétele 161
10.4. Sugarak és szögek 163
10.5. Reciprok poliéder 166

11. ARANYMETSZÉS ÉS FILLOTAXIS 168
11.1 Aranymetszés 168
11.2. De Divina Proportione 170
11.3. Az arany spirális 171
11.4. A Fibonacci-számok 173
11.5. Fillotaxis 176

III. rész

12. RENDEZETT GEOMETRIÁK 183
12.1. Hogyan kaphatunk Eukleidész geometriájából két különböző
geometriát 183
12.2. Közrefogás 185
12.3. Sylvester kollineáris pontokra vonatkozó feladata 189
12.4. Síkok és hipersíkok 191
12.5. Folytonosság 194
12.6. Párhuzamosság 195

13. AFFIN GEOMETRIA 199
13.1. A párhuzamossági axióma és a „Desargues"-axióma 199
13.2. Nyújtások 201
13.3. Affinitások 206
13.4. Ekviaffinitások 210
13.5. Kétdimenziós rácsok 215
13.6. Vektorok és súlypontok 219


13.7. Baricentrikus koordináták 222
13.8. Affin tér 227
13.9. Háromdimenziós rácSok 231

14. PROJEKTÍV GEOMETRIA 235
14.1. Az általános projektív sík axiómái 236
14.2. Projektív koordináták 240
14.3. Desargues tétele 243
14.4. Négyszögpontok és harmonikus pontnégyesek 245
14.5. Projektivitások 247
14.6. Kollineációk és korrelációk 252
14.7. A kúpszelet 257
14.8. A projektív tér 260
14.9. Az euklideszi tér 265
15. ABSZOLÚT GEOMETRIA 268
15.1. Egybevágóság 268
15.2. Párhuzamosság 270
15.3. Mozgás 273
15.4. Véges forgáscsoportok 274
15.5. Véges mozgáscsoportok 280
15.6. Geometriai kristálytan 281
15.7. A poliéder-kaleidoszkóp 283
15.8. Inverziók által generált diszkrét csoportok 285
16. HIPERBOLIKUS GEOMETRIA 290
16.1. A párhuzamosság euklideszi és hiperbolikus axiómája 290
16.2. Az ellentmondásmentesség problémája 291
16.3. A párhuzamossági szög 294
16.4. A háromszögek végessége 298
16.5. Terület és szögdefektus 299
16.6. Körök, horociklusok és ekvidisztáns görbék 302
16.7. Poincaré félsík-modellje 305
16.8. A horoszféra és az euklideszi sík 306

I V. rész

17. GÖRBÉK DIFFERENCIÁLGEOMETRIÁJA 309
17.1. Az euklideszi tér vektorai 309
17.2. Vektorfüggvények és deriváltjaik 314
17.3. Görbület, evoluták és evolvensek 315
17.4. A láncgörbe 319
17.5. A traktrix 320
17.6. Térgörbék 322
17.7. A közönséges csavarvonal 324
17.8. Az általános csavarvonal 326
17.9. A konho-spirális 327


18. A TENZORIÁLIS ÍRÁSMÓD 329
18.1. Duális bázisok 329
18.2. Az alaptenzor 330
18.3. Reciprok rácsok 332
18.4. Gömb kritikus rácsa 335
18.5. Általános koordináták 338
18.6. Az alternálás szimbóluma 341

19. FELÜLETEK DIFFERENCIÁLGEOMETRIÁJA 342
19.1. Két paraméterrel megadott felületek 342
19.2. Felületi irányok 345
19.3. Normálgörbület 349
19.4. Főgörbületek 351
19.5. Főirányok és görbületi vonalak 356
19.6. Umbilikus pontok 358
19.7. Dupin tétele és Liouville tétele 360
19.8. A Dupin-féle indikatrix 362

20. GEODETIKUS VONALAK 365
20.1. Theorema egregium 365
20.2. A geodetikus vonalak differenciálegyenlete 367
20.3. Geodetikus háromszög teljes görbülete (integrálgörbülete) 370
20.4. Az Euler—Poincaré-karakterisztika 371
20.5. Állandó görbületű felületek 373
20.6. A párhuzamossági szög 373
20.7. A pszeudoszféra 375
21. FELÜLETEK TOPOLÓGIÁJA 377
21.1. Irányítható felületek 378
21.2. Nem irányítható felületek • 380
21.3. Szabályos térképek 383
21.4. A négyszín-probléma 386
21.5. A hatszín-tétel 387
21.6. Elegendő színek száma tetszőleges felület esetében 390
21.7. Felületek, amelyek kiszínezéséhez az elegendő számú szín szükséges
22. NÉGYDIMENZIÓS GEOMETRIA 392
22.1. A legegyszerűbb négydimenziós alakzatok 393
22.2. Szükséges feltétel {p, q, r} létezésére 395
22.3. Szabályos politopok szerkesztése 397
22.4. Térkitöltés egybevágó gömbökkel 400
22.5. Statisztikus méhlép 406
TÁBLÁZATOK 409
IRODALOMJEGYZÉK 411
FELADATMEGOLDÁSOK 415
TÁRGYMUTATÓ 463