Funkcionálanalízis

Ez ​a mű azoknak az előadásoknak az anyagát fejti ki, amelyeket a két szerző „Valós függvények", „Integrálegyenletek”, „Hilbert-tér” és egyéb címeken a szegedi és a budapesti egyetemen sok éven át tartott. Az első kézirat 1948-ban készült el, de minthogy a kinyomtatást technikai nehézségek késleltették, időközben kibővítettük a legújabb eredményekről szóló néhány szakasszal. Az első rész, amely a differenciálás és integrálás modern elméletéről szól, bevezetés a másodikhoz, amely az integrálegyenleteket és a lineáris funkcionálokat és transzformációkat tárgyalja. Ez a két részre való felosztás egyébként megfelel a szerzők közötti munkamegosztásnak is: bár együtt dolgoztak, az első részt főleg az első, a másodikat pedig a második szerző fogalmazta. A két rész szerves egységet képez, központi fogalmuk a lineáris funkcionál. Ez a fogalom tükröződik abban a módszerben is, amellyel a Lebesgue-integrál elméletét építjük fel; ezt a módszert, amelyet egyszerűbbnek és világosabbnak tartunk, mint a mértékfogalmon alapulót, egyetemi előadásaiban az első szerző több mint húsz év óta alkalmazta, de végleges formában eddig nem jelent meg. Az első rész a monoton függvények differenciálásáról szóló Lebesgue-tétel egy közvetlen bizonyításával kezdődik; a tételt speciálisan az intervallumfüggvények deriváltja és integrálja közötti összefüggések tanulmányozásakor alkalmazzuk. Ezután felépítjük a Lebesgue-integrál elméletét és tanulmányozzuk az L2 és Lp tereket, valamint lineáris funkcionáljaikat. A Stieltjes-integrált és általánosításait mint a folytonos függvények terének lineáris funkcionáljait vezetjük be. A második rész egy, az integrálegyenletekről szóló fejezettel kezdődik; az integrálegyenletek elmélete készítette elő az utat a lineáris transzformációk általános elméletéhez. Több módszert ismertetünk, amely elvezet a Fredholm-féle alternatívához. Ezeket a módszereket a következő fejezetben a Hilbert-tér vagy valamely Banach-tér általános típusú, teljesen folytonos függvényegyenleteire alkalmazzuk. Külön fejezetben tanulmányozzuk a teljesen folytonos, szimmetrikus lineáris transzformációkat. Ezután a Hilbert-tér önadjungált, korlátos és nem korlátos transzformációinak a spektrálelméletét fejtjük ki. A nem korlátos szimmetrikus transzformációk folytatására vonatkozó feladatot is szemügyre vesszük. Külön fejezetet szentelünk az önadjungált transzformációk függvényeinek, valamint a spektrum és perturbációi tanulmányozásának. Az unitér transzformációkból álló csoportokra vonatkozó Stone-féle és azzal rokon tételeket, továbbá bizonyos ergodtételeket egy másik fejezetben tárgyaljuk. Az utolsó fejezet egy pillantást vet a nem szükségképpen normális, lineáris transzformációk spektrálelméletének – ma még csak töredékes – kezdeteire; itt megtalálható a reziduumszámításon alapuló módszer, valamint Neumann Jánosnak a spektrálhalmazokról szóló egészen új eredményeinek a tanulmányozása. A tárgyalás során nem törekedtünk az összes lehetséges általánosítás részletes tanulmányozására; inkább azon igyekeztünk, hogy bemutassuk a fő problémákat és a megközelítésükre alkalmas módszereket. Néha ugyanannak a célnak az elérésére több módszert is ismertettünk, összehasonlítottuk őket, és mérlegeltük horderejűket.

Mutass kevesebbet