Geometria I.

Előszó 11

1. rész
A VEKTORALGEBRA ELEMEI. SÍKGEOMETRIA

I. fejezet. A vektoralgebra elemei a térben 15
1. §. Jelölések és definíciók 15
2. §. Irányított szakaszok 20
3. §. Vektorok 21
4. §. Vektorok összeadása és kivonása 22
5. §. Vektorok szorzása számmal (skalárral) 25
6. §. Vektorok lineáris függése 29
7. §. Vektorok koordinátái adott bázisban 32
8. §. Vektor vetítése koordinátatengelyre 34
9. §. Két vektor skaláris szorzata 39
Feladatok és tételek az I. fejezethez 40

II. fejezet. A sík koordinátageometriája 42
10. §. A sík affin koordináta-rendszere. Szakasz adott arányú osztása . 42
11. §. Derékszögű (Descartes-féle) koordináta-rendszer a síkon. Két pont
távolsága 44
12. §. A koordinátákra vonatkozó egyenletek és egyenlőtlenségek geomet-
riai értelmezése 46
13. §. Derékszögű koordináta-rendszerek transzformációja. A sík irányí-
tása 49
14. §. Polárkoordináták 57
15. §. Görbék polárkoordinátás alakban 59


16. §. Algebrai görbék és rendjük 61
17. §. Az egyenes megadásának különféle módjai 62
18. §. Az egyenes általános egyenlete 66
19. §. Az Ax+ By+ C háromtag előjelének geometriai jelentése 67
20. §. Pont és egyenes távolsága 69
21. §. Két egyenes szöge 70
22. §. Két egyenes kölcsönös helyzete a síkon 72
23. §. Sugársorok 74
Feladatok és tételek a II. fejezethez 79

III. fejezet. A sík transzformációi és alkalmazásuk feladatok megoldásában . . 83
24. §. Leképezések és permutációk 83
25. §. Halmazok permutációcsoportjai. A permutációcsoport részcsoport-
jai 86
26. §. A sík egybevágósági csoportja 88
27. §. A sík egybevágóságainak osztályozása 98
28. §. A sík egybevágóságainak felbontása tengelyes tükrözések szorzatára 101
29. §. A sík egybevágósági csoportjának részcsoportjai 103
30. §. Geometriai alakzatok szimmetriacsoportja 105
31. §. A hasonlósági transzformáció 108
32. §. A sík hasonlósági csoportja és ennek részcsoportjai 111
33. §. Az inverzió 114
34. §. A sík affin transzformációinak csoportja 119
35. §. A sík transzformációinak felhasználása feladatok megoldásában 129
Feladatok és tételek a III. fejezethez 137

IV. fejezet. Másodrendű görbék 139
36. §. Az ellipszis 139
37. §. A hiperbola 145
38. §. A parabola 149
39. §. Az ellipszis és a hiperbola vezéregyenesei 150
40. §. Az ellipszis, hiperbola és parabola egyenletei polárkoordináta-rend-
szerben 152
41. §. A másodrendű görbék általános egyenlete és azok kanonlrus alakra
hozása 154
42. §. Másodrendű görbe kanonikus alakjának előállítása 161
43. §. A másodrendű görbe centruma 163
44. §. Másodrendű görbe és egyenes metszéspontjai. Aszimptoták. Az
érintő 166


45. §. A másodrendű görbe átmérői 174
46. §. Főirányok. Tengelyek 179
Feladatok és tételek a IV. fejezethez 181

2. rész
EGYENESEK, SÍKOK ÉS MÁSODRENDŰ ALAKZATOK
AZ EUKLIDESZI ÉS AFFIN TEREKBEN

L fejezet.—Térbeli koordináta-rendszerek. A vektorok vektori és vegyesszor-
zata 187
1. §. A tér affin koordináta-rendszerei. Szakasz adott arányú osztása . . 187
2. §. Derékszögű (Descartes-féle) koordináta-rendszer a térben. Két pont
távolsága 189
3. §. Descartes-féle koordináta-rendszer transzformációja. Három vektor
komplanaritásának feltétele 190
4. §. A vektori szorzat és tulajdonságai. A háromszög területe 195
5. §. Vektorok vegyesszorzata és a vegyesszorzat tulajdonságai., A tetra-
éder térfogata 198
6. §. A koordinátákra vonatkozó egyenletek és egyenlőtlenségek geomet-
riai jelentése 201
Feladatok és tételek az I. fejezethez 204

II. fejezet. Síkok és egyenesek 207
7. §. A sík megadásának különböző módjai 207
8. §. A sík általános egyenlete. Az Ax+By+Cz+D polinom előjelének
geometriai jelentése 210
9. §. Két, illetve három sík kölcsönös helyzete 212
10. §. Két sík hajlásszöge 214
11. §. Az egyenesek megadásának különböző módjai 215
12. §. Sík és egyenes kölcsönös helyzete. Sík 6s egyenes hajlásszöge . . 218
13. §. Két egyenes kölcsönös helyzete. Két egyenes hajlásszöge 219
14. §. Síksorok 221
15. §. Síknyalábok és egyenesnyalábok 223
Feladatok és tételek a II. fejezethez 226

III. fejezet. Másodrendű felületek vizsgálata kanonikus egyenletük alapján . . 230
16. §. Másodrendű hengerfelületek 230
17. §. Másodrendű kúpfelületek 234
18. §. Forgásfelületek 241


19. §. Az ellipszoid 244 I Szabályos poliéderek 340
20. §. Hiperboloidok 246 trt §. Szabályos poliéderek szimmetriacsoportja 346
21. §. Paraboloidok 250
22. §. A másodrendű felületek alkotóseregei 253 l'elndatok és tételek a VI. fejezethez 353
23. §. A másodrendű felületek érintősíkjai 259 t 11$0,,,14. A másodrendű görbék és felületek affin definiálása 355

Feladatok és tételek a III. fejezethez 262 t, t , 363

1V. fejezet. Affin és euklideszi n-dimenziós terek 264 ittitvittlitatit 367

24. §. Az n-dimenziós affin tér Weyl-féle axiómarendszere 264 lom 373

25. §. Affin koordináta-rendszer 266
26. §. Izomorf affin terek 268
27. §. k-síkok. Két sík An- belikölcsönös helyzete 271
28. §. Affin transzformációk 274
29. §. n-dimenziós euklideszi terek 279
30. §. Két pont távolsága. Vektorok szöge 282
3,1. §. Az euklideszi tér egybevágóságai 286
32. §. Az E„ tér egybevágósági csoportja, ennek részcsoportjai. Az euklideszi
geometria tárgya 289

33. §. Hasonlósági transzformációk. A hasonlósági csoport. A geometria
csoportelméleti megközelítése 294

Feladatok és tételek a IV. fejezethez 299

V. fejezet. Kvadratikus alakok és másodrendű alakzatok (kvadrátok) . 303

34. §. A kvadratikus alak kanonikus alakra hozása 303

35. §. Az inerciatétel 307
36. §. Pozitív defmit alakok 309
37. §. Kvadrátok az euklideszi térben. A centrum • 310
38. §. Kvadrátok kanonikus alakra hozása. A kvadrátok osztályo-
zása '312
39. §. Kvadratikus alakok kanonikus alakjának előállítása főtengely-
transzformációval 318
40. §. Ortogonális invariánsok 323
41. §. Kvadrátok az n-dimenziós euklideszi térben 324

Feladatok és tételek az V. fejezethez 326

VI. fejezet. Konvex poliéderek 329

42. Q. Konvex alakzatok 329
43. §. Konvex poliéderek. Konvex sokszögek ........ , 331